為了用最小的箱子裝最多的汽水,數學家們研究到了 24 維!
2020年08月06日15:42

  來源:中科院物理所

  如何在保持辦公室、學校和公共場合開放的情況下,同時讓人們保持 6 英呎(≈182.88cm)的社交距離,這是數學家們研究了幾個世紀的問題。

  球體填充似乎是一個只有數學家們才會喜歡的話題。也對,除了他們,還有誰會熱衷於找到平面排列圓形或者空間中放置球體的最有效方法呢?

  但是現在,全世界有幾百萬的人都在思考這個特別的問題。

  如何在保持社交距離下重新開放公共空間和場所,這在一定程度上是一道幾何問題:如果每個人都與其他人保持 6 英呎的距離,那麼一個教室或者餐廳可以坐多少人?本質就是算一個平面內可以填充多少個不重合的圓形的問題。

  這個幾何問題不僅僅是當前疫情所面對的問題,在化學中模擬晶體結構和在信息論中抽像的信息空間都涉及到了這個圓形和球體填充的問題。這個問題聽起來很簡單,但是卻一直困擾著歷史上一些偉大的數學家們,甚至今天,關於這個問題的一些激動人心的研究還在繼續,特別是在高維空間上。比如說,數學家們最近證明了將球體封裝到 8 到 24 維空間的最佳方法,這個方法是優化手機中糾錯碼或空間探測器通訊的必需技術。所以,當我們研究用最簡單的形狀填充空間時,會出現怎樣令人驚訝的複雜情況?

  二 維

  如果你的任務是將橘子合理地放到盒子裡或者在保持社交距離的情況下讓學生入座,那麼你所要安排的容器的大小和形狀就變成了問題的關鍵。但是對於絕大部分的數學家們來說,球體填空理論是填充在整個空間的。在二維空間上,這代表利用同樣大小的圓,不重疊地覆蓋在平面上。

  這裏有一個在平面上放置圓形的例子,可能會讓你想起一箱汽水罐的俯視圖:

  可以想像,沿著各個方向按照這個模式不斷重複的過程,就像鋪設平面的瓷磚。圓圈之間的小的間隙代表著平面並不是完全被覆蓋,對於圓形的瓷磚,這是可以預想到的結果。同時,我們關心平面的覆蓋率,也就是平面覆蓋的百分比,這裏也被稱為排列的“堆積密度”。

  以上的排列被稱為“方形堆積”( square packing),原因是:可以將圓的圓心想像為正方形的頂點。

  事實上,這些正方形本身就鋪貼為平面。

  鋪設的“瓷磚”對稱性的性質將會簡化這項工作。因為這些正方形的瓷磚可以用一種規則的方式覆蓋整個平面,所以平面被圓形覆蓋的百分比等於任意一個被圓覆蓋的正方形的百分比。所以,讓我們進一步看看這些方塊。

  假設每個圓的半徑為r,這意味著正方形的邊長為2r。正方形的四個頂點中的每一個都被一個四分之一圓覆蓋,因此每個正方形被圓覆蓋的比例就是一個整圓的面積與一個正方形的面積之比:

  每個正方形大概有 78.54% 的面積被圓覆蓋,所以根據我們的平鋪理論,整個平面大概有 78.54% 被圓形覆蓋。這就是方形堆積的堆積密度。(這裏半徑 r 從結果中消失了,這代表無論圓有多大,正方形都將會包含四個四分圓。)

  現在,如果你曾嚐試將汽水罐的側面如下圖這樣放置,看著它們按照這個排列滑進罐與罐的縫隙之間,你會發現另外一種打包的方式。

  利用跟上文類似的方法,將圓的中心想像為正六邊形的頂點。

  我們稱之為“六方堆積”( hexagonal packing),這種排列似乎比方形堆積更有效地填補了空白。為了驗證這一點,讓我們比較一下它們的堆積密度。就像正方形一樣,六邊形平鋪在平面上,所以我們可以通過分析單個六邊形來確定這種排列的堆積密度。

  這個六邊形被圓覆蓋的比例是多少?因為六邊形的內角是 120°,所以它的每個角上都有三分之一個圓,因此整個六邊形包含兩個完整的圓,加上中間的一個一共是三個圓。如果每個圓的半徑為 r,則總面積為 3πr²。

  該怎麼跟六邊形的面積比較呢?邊長為 s 的正六邊形實際上是六個邊長為 s 的正三角形,每個三角形的面積是 ,所以六邊形的面積為 。在這裏,六邊形的邊長為 2r,因此它的面積為:

  所以,六邊形被圓覆蓋的面積百分比為(用三個圓的面積除以六邊形的面積):

  每個六邊形大概有 90.69% 被圓覆蓋,這樣看起來比最密堆積空間利用率更高。(這裏和我們預期的一樣,結果中同樣不包含圓的半徑。)但是事實上,沒有哪種排列是更有效的。

  這一點的證明並不是一件容易的事情。一些著名的數學家比如約瑟夫·拉格朗日和卡爾·弗里德里希·高斯在18世紀末和19世紀初就開始研究這項工作,但直到20世紀40年代,所有可能的排列——規則的和不規則的——都被嚴格考慮之後,這個問題才被徹底解決。在很容易可視化的二維維度上,這個問題已經耗費了很長時間,這警示了了我們更高維度上問題的複雜程度。

  三 維

  三維球體的填充是一個複雜得多的問題,儘管它與二維在某些方面有些共同的特點。例如,我們研究的二維填充是從一個單層構建的。

  在方形堆積中,我們把每一層都直接放在前一層的上面。

  在六方堆積中,我們將每個新層嵌套在前一層的間隙中。

  我們對每層的堆積方式決定了三維中不同的填充方式。

  在三維空間中,不同的填充來自於這樣的填充層。

  這一層是六方堆積填充的,就像是平面上最優的堆積方式。同樣,將第二層以類似的方式堆疊上去,嵌套在球體之間的間隙中。

  三維中的幾何要稍微複雜一些。每層球體之間的距離小於相鄰球體的距離,因此這些縫隙中不能填充球體,否則會重疊。這意味著兩層之間的縫隙會排成一行,形成一個小的縫隙通道。

  放置第三層時,有兩個選項。一是填充間隙,保持通道順通。這是側面圖:

  為保持通道順通,第三層的球體放在第一層的正上方,如上圖所示。這種排列被稱為“六方最密堆積(hexagonal close-packed,HCP)” ,當你從上往下看時,會看到一條通道。

  第三層的另一種排列方式是封堵這個通道。將第三層放到第一層間隙的正上方,

  這個被稱為“面心立方堆積(face-centered cubic,FCC)” 往下看,你看不透這個排列。

  這兩種相似但截然不同的排列方式在化學上經常出現,它們用以描述不同材料中原子的排列方式。(比如說,銀和金等金屬具有面心立方堆積結構,而鋅和鈦等金屬具有六方最密堆積結構)。通過選用任一填充模式,都可以利用球體填充空間。在六方最密堆積中,每隔一層球體的位置完全相同,而面心立方堆積中,每隔三層的排列是一樣的。

  事實上,你可以任意混合模式創建不同的填充方式,但是對於面心立方和六方最密堆積這兩種模式來說,它們都是最好的填充方式!它們不僅有相同的堆積密度 ,而且還是三維空間中可能填充密度最大的排列。著名數學家、天文學家約翰內斯·開普勒在1611年就提出了這個猜想,但是直到 1998年數學家托馬斯·黑爾斯才給出了完整的證明。

  三維空間為有效地填充提供了更多的選擇。隨著維度的增加,填充的方法變得越來越複雜:更多的空間意味著更多的可能性,也愈加難以可視化。不僅僅是這個,隨著維度的增加,球體所佔據的空間就越小。

  考慮邊長為 1 的正方形的內接圓:

  圓的半徑為 0.5,因此圓相對於方形的比例為:

  同時也是二維空間中最密堆積的堆積密度。

  現在我們來到三維空間中立方體內的內接球。

  此球體的半徑為 0.5,所以球體相對於立方體的體積比例為:

  值得留意的是,三維空間中,立方體內接球體所占的空間比例小於二維空間正方形內接圓所占的比例,照此類比,隨著空間維度的增加,這個比例會減小,也就是說,隨著 n 的增大,n 維球體佔據的 n 維空間越來越小。

  這個問題可以利用微積分來詳細計算,但是這裏也可以利用角的數目來理解。在每個維度中,我們都在 n 維的立方體中插入了 n 維的球體。球體的邊接觸了立方體的面,但是沒有接觸立方體的角,這代表立方體的每個角附近的區域都是在立方體的內部,球體的外部。但是一個 n 維的盒子中,有 個角,這代表隨著 n 的增加,球體未覆蓋的部分呈指數增長。不僅如此,角之間的距離和球體之間的距離也會隨之增長。這代表著,從長遠來看,n 維立方體內部,n 維球體外部的空間會越來越多,使得球體所占的空間相比越來越少。

  如果空間佔比逐漸縮小的球體還不夠令人感到奇怪,那麼研究空間填充的數學家們在8維和24維中發現的東西就更令人驚訝了。在這些維度中,由於球體佔比縮小產生的空隙,足以利用新的球體來填充,從而產生高維空間的超緻密填充物。這些填充被認為是最優的,這個結論數學家們直到2016年才確定:馬林娜·維亞佐夫斯卡證明了8維的填充,一個星期內,維亞佐夫斯卡及其合作者擴展到了24維的證明。

  維亞佐夫斯卡的工作代表目前我們已經知道了從 1,2,3,8,24維空間中最優的空間填充方式。但是在其他維度上,還有更多的工作需要展開。所以,拿出你的橘子和汽水罐,試著擺弄一下這個填充遊戲吧!或許,你就是下一個發展這個理論的人。

  小練習:

  1。 對於下面“簡單立方”的填充,這種排列的堆積密度是多少?

  與平面上方形堆積一樣,我們可以通過觀察單個立方體來確定這種排列的堆積密度。八個角上,每個角都有八分之一的球體在立方體內部。因此立方體內部正好有一個整球。如果球體的半徑為 r,立方體的邊長為 2r,則填充密度為(球體的體積除以立方體的體積):

  注意到,這正好是立方體中那個填充的球體的比例。

  2。 利用普通的正八邊形填充平面,其填充密度是多少?

  因為這本質上是一個八邊形的方形填充,所以我們可以使用之前的方法,觀察一個連接四個相鄰八邊形中心的正方形。請注意,正好有一個完整的八邊形,被分成四個部分,位於正方形內。邊長s的正八邊形具有面積(可以通過各種方式分解八邊形),並且在中間有一個邊長為s的方形。這使得堆積密度(八邊形的面積除以八邊形的面積與長度s的方形的面積之和):

  值得注意的是,這並不是平面中最密集的八邊形分佈,你能找到更有效的填充方式麼?

關注我們Facebook專頁
    相關新聞
      更多瀏覽