考試之外,數學是一項崇高的事業
2021年06月07日18:14

  原標題:考試之外,數學是一項崇高的事業

  應該如何去感受和描述數學的“美感”?一個年輕的數學家應該如何規劃自己的研究生涯?獲得數學界的最高榮譽對自己的生活和研究造成了哪些影響,又該如何看待如今鋪天蓋地的“奧數競賽”?面對各種問題,菲爾茨獎得主吳寶珠教授在芝加哥大學數學系的辦公室里接受了本刊專訪。吳寶珠1972年出生於越南河內,高中畢業後赴法國學習數學並獲得博士學位。2010年,他因為證明了羅伯特·朗蘭茲綱領的自守形式基本引理而獲得數學界這一最高獎項。

  主筆|苗千

  數學是一個整體

  ——專訪菲爾茨獎得主吳寶珠教授

吳寶珠教授在授課
吳寶珠教授在授課

  無需去定義數學的美

  三聯生活週刊:從希臘時代開始一直到現在,數學已經發生了非常大的改變。當我們談到數學,你想到的是什麼?是你現在正在研究的課題,還是一個關於數學學科的整體圖像?在你看來,數學的本質是什麼?有什麼東西自古希臘時代開始從未發生過改變?

  吳寶珠:大多數時候我所想的都是我正在研究的問題。我想找出某一個特定問題的答案。關於什麼是數學,我想這是一個關於整體的話題。這也和我為什麼要把自己的一生都用來研究數學有關。對我來說,這是一項崇高的事業,一項人類從古希臘時代就已經開始的事業,它不斷地前進。我可以從前人的研究中學習關於數學的知識,感受到它的美。讓這個事業保持活力是一個崇高的工作。研究數學,為數學做貢獻,讓它更豐富,從這個角度來說,我們可以認為數學是一個整體。

《美麗心靈》劇照
《美麗心靈》劇照

  三聯生活週刊:很多人都談到了數學的美感,你能否詳細談一談這個話題,你如何定義和感受數學的美感?

  吳寶珠:對於數學家來說,這是一個非常明顯的事情,根本無需去定義數學的美。但是對於數學的門外漢來說,想要解釋數學的美感就很睏難了,因為這是一種精神上的體驗。當你面對一些對你來說非常重要又無法理解的問題,你需要從一些非常聰明的人那裡獲得靈感,之後再去讀書。一開始,這個問題的一切都顯得非常奇怪,讓人迷惑。你不得不花費很長的時間去研究、梳理。最終這些問題會變得簡單,答案顯而易見,你甚至不明白自己當初為什麼會問出這樣的問題。

  這樣一個過程,讓一些看似迷惑的問題在你的頭腦中變得清晰,在你的思想中得以發展,最後變成簡單的結構,這就是數學的美感。在經過很多的努力之後,讓一些複雜的、讓人望而生畏的東西變得簡單而友好,這就是美的。

  三聯生活週刊:對於數學家來說,是不是天分更重要?畢竟在數學領域有著眾多關於天才的傳說,比如拉馬努金、伽羅瓦?菲爾茨獎也只授予40歲以下的數學家。對於一個沒有數學天分的普通人來說,有沒有可能通過訓練而成為一個優秀的數學家呢?

  吳寶珠:不可否認,想要研究數學需要具有某種天賦。現在人們願意相信,所有人都能做好所有的事情,但這不是真的。比如說踢足球,我不可能踢得像馬拉多納那麼好,我猜馬拉多納做數學研究可能也不會太出色,這是一件非常正常的事情。但我也相信,很多人都有一定的天賦。天賦不是被某個人獨享,比如說在十億人裡邊只能出現一個天才。最重要的是,要為那些有數學能力的孩子營造一個良好的數學學習環境,讓他們可以發揮自己的數學才能,愛上數學。在其他的科學領域里也是一樣。這樣才能保留人類已有的知識,並且創造出新的知識。

  三聯生活週刊:你是否在很小的時候就發現了自己的數學才能?

  吳寶珠:並不是這樣,我是從中學開始才非常認真地學習數學。在上中學之前,我只是一個非常普通的孩子。我當時在學校里學習還不錯,但不只是數學,我對很多東西都很感興趣。上了中學之後,我們需要解決一些很睏難的數學問題,我很吃驚地發現那些問題對我來說顯得都很容易。我發現自己很善於解決數學問題,並且推廣數學問題的結論。隨後我開始面對一些難度更高的挑戰,這也讓我越來越沉迷於數學。

《小謝爾頓》劇照
《小謝爾頓》劇照

  三聯生活週刊:當初是你父親把你送到一所特殊的中學里?

  吳寶珠:是的。我之前念的是一所很快樂的學校,在那裡我學到了很多東西,也經常踢足球。當時我父親還在蘇聯讀博士,他回到越南之後,對那所學校不是很滿意,所以他讓我轉到另外一所非常嚴格的學校(征王基礎中學)。一開始我並不確定自己是不是擅長數學,我需要通過一個中學入學考試。因為準備不充分,第一次我失敗了,經過一年時間的艱苦準備我才通過了那所學校的入學考試。

  三聯生活週刊:你是從什麼時候開始,決定把研究數學作為你的職業?

  吳寶珠:這並不需要做出一個正式的決定。在中學之前我從來沒想過要一生都研究數學。我當時對很多事情都很感興趣,我想成為一名工程師,建造機器。但是在學習數學之後,我對於數學難題感到非常激動,所以我只要跟隨著自己的興趣行動就可以了。

  三聯生活週刊:因為證明了朗蘭茲綱領(Langlands Program)的自守形式基本引理,你在2010年獲得了菲爾茨獎。這是數學領域的最高獎項。你能否簡單介紹一下朗蘭茲綱領,以及你的工作的重要性?

  吳寶珠:這是一個很長的故事,而且很難把一個廣泛又艱深的數學問題向普通讀者解釋清楚。可以說,關於朗蘭茲綱領的最早一篇論文是黎曼(Bernhard Riemann)在1859年發表的。黎曼是一個真正的、純粹的數學天才。我認為黎曼對於數學發展的影響是最深刻的。黎曼開創了微分幾何,這是廣義相對論的基礎。他還發表過一篇關於數論的論文,改變了整個數論領域。

  在1859年的那篇論文里,他研究了ζ函數(Zeta Function),這是數學領域中最美麗、最神秘的問題之一,這個問題即使到現在也還非常困難。ζ函數可以用來研究質數的分佈,這是最重要也是最古老的數學問題之一。但是之後,其他數學家發現這個美麗的函數並不是唯一的,還有很多其他的方程,比如L函數,具有同樣的性質。現在隨便哪篇關於數論的論文都會討論ζ函數和L函數等等。

  我想從黎曼時代到20世紀中期,雖然還無法解釋,但人們開始對於ζ函數和L函數具有的同樣性質理解得越來越深。而對於如何使數學系統化,朗蘭茲具有很開闊的眼光。比如數論是研究自然數的,包括研究質數的分佈規律,但朗蘭茲希望能夠把數論和一個完全不同的領域——表示論(Representation Theory)聯繫在一起。

  朗蘭茲希望通過表示論中的一些特性來解釋ζ函數和L函數的一些普遍性特徵,這是數學界的一件大事。人們第一次認識到數學中一些通用的機製。數論非常艱深,它似乎有著無窮無盡新的和深刻的問題,但是又顯得缺乏結構,只是有太多的現象。其中通用的原則是什麼?朗蘭茲為數論提出了一個通用的原則。

  朗蘭茲不只是提出了他的綱領,他在不同的層面提出很多綱領,非常難以應用和證明。但你不能只是提出自己的想法,還需要證據,需要精妙的計算把不同的層面聯繫起來。朗蘭茲綱領的基本引理一開始只是一個不大重要的引理,雖然解決起來很睏難,但是一旦解決,就可能得出一些有意義的定理。

  如果確實存在一個更大的數學結構,那麼一些數字必須相等。在這種情況下,人們開始計算這些數字。在進行了幾百頁的計算之後,這些數字始終相等,沒有例外。當然計算不可能永遠地進行下去。在過去30年里對朗蘭茲綱領的研究進展越多,出現的阻礙也就越多。

  人們已經在沒有證明朗蘭茲綱領的基本引理的情況下取得了很多進步,因此也就越來越需要證明這個基本引理(以確保這些進步是正確的)。我並不是說基本引理比這個領域中的其他問題更重要,我只是有了一種感覺,雖然別人無法證明,但是我可以。我花了一些時間研究朗蘭茲綱領的一般原則,之後把它與一些幾何結構聯繫起來進行解釋。我想這是唯一一種能夠解釋這種巧合的途徑。

  獲得菲爾茨獎完全改變了我的生活

  三聯生活週刊:人們喜歡把菲爾茨獎比作數學領域的諾貝爾獎。在獲得了菲爾茨獎以後,你的生活和研究受到了哪些影響?因為獲獎而帶來的名聲讓一切變得更容易還是更複雜了?

  吳寶珠:我認為菲爾茨獎和諾貝爾獎確實有相似之處,它們都是各自領域中最重要的獎項。當然並不是因為有一大筆獎金——獎金很少——而是因為它們都是由整個學術群體授予的獎項。菲爾茨獎是由國際數學聯盟成立的一個組織做出最終決定,獲獎人的名字會一直被保密,直到在每四年一次的國際數學家大會上宣佈。

  在整個數學世界里有非常多的天才人物,所以菲爾茨獎才被認為是數學界最重要的獎項。菲爾茨獎確定得主的過程可能和諾貝爾獎不大一樣。對於菲爾茨獎來說,選擇的數學家必須在40歲以下,根據他們最傑出的成就而不是整個學術生涯來評價。相比之下阿貝爾獎(Abel Prize)更傾向於因為數學家的整個學術生涯和對數學的整體貢獻授獎。菲爾茨獎授獎的原因有時是兩者的結合,但大多數情況是針對某個單獨的成就,比如證明某個定理。

印度前總統普拉蒂巴·帕蒂爾在2010年8月19日舉行的國際數學家大會上,向吳寶珠教授頒發了菲爾茨獎(視覺中國供圖)
印度前總統普拉蒂巴·帕蒂爾在2010年8月19日舉行的國際數學家大會上,向吳寶珠教授頒發了菲爾茨獎(視覺中國供圖)

  我還清楚地記得我接到拉茲洛·洛瓦茲(László Lovász)電話的那一天。當時洛瓦茲是國際數學聯盟的主席,而我正在哥倫比亞大學訪問,只是訪問一個月的時間,我真的不知道他是怎麼找到我辦公室電話的。他在電話裡祝賀我獲得菲爾茨獎,我確實有點受到驚嚇了。當然,在之前我有預感自己會獲得菲爾茨獎,有些人也在談論我可能會獲獎。但是當這件事成真,就成了一件大事,它改變了我的生活。

  在獲獎之前,我只是一個普通的數學家,喜歡在我的辦公室里研究數學,不大會被外界打擾,但獲獎之後我的生活被完全改變了。我也有朋友獲得了菲爾茨獎,他們的生活同樣被完全改變了。作為名人有了更多的責任,不管你願意還是不願意,都需要代表更多的人發言,這並不舒服。我來自一個小國,我獲得菲爾茨獎對於越南來說是一件大事。有些事情我很早就想做,比如說推動越南的數學教育,在我獲獎之前這很睏難,但是現在就容易多了。我是一個名人,我可以直接和政治家對話,他們也會更認真地傾聽。

  獲獎在其他方面也改變了我的生活。我需要和政治家們一起吃飯,開很多會。很多政治家都是很好的人,但這並不是我選擇的生活。我更願意和我的學生們不受干擾地研究數學。我有很好的生活,一個很好的家庭。我並不富裕,但是生活得很舒服。我希望做我想做的事情,希望可以把我的時間奉獻給人類的知識——這才是我選擇的生活。

《知無涯者》劇照
《知無涯者》劇照

  獲獎之後有時我會感覺很糟糕,但是我不能拒絕菲爾茨獎,或是把它退回去。這會像是背叛那些一直對我充滿信心的人,那些人希望通過我來促進越南的數學教育。為了這個目標他們付出了很多努力。

  我現在在越南生活的時間更多了。我會去做演講,還需要負責一個研究所。越南是一個小國,也是一個窮國,所以想要說服別人,花費時間和金錢做一些沒有明顯收益的事情並不容易。在過去的10年里我花了很多時間做這樣的努力,因此做研究的時間也就少了。我希望兩者都能做好。

  三聯生活週刊:現在中國有很多討論,我們是不是對國際數學奧林匹克競賽投入了太多精力,也有人抱怨各種數學競賽實在是太多了。你年少時曾經兩次參加國際數學奧林匹克競賽,並且兩次都獲得了金牌。你說過,第一次參賽的時候感到很興奮,但是第二次參賽就開始感到疲憊。多年以後,你如何評價國際數學奧林匹克競賽?對於年輕的數學家來說,這是一種必要的訓練嗎?

  吳寶珠:在越南也有類似的討論。人們批評說,如果數學只是作為一種競賽項目,那麼國際數學奧林匹克競賽就沒有任何意義。人們從虛榮的角度去批評,認為很多人就是為了證明自己的孩子更好,所以強迫孩子去參加競賽。

  這樣參加國際數學奧林匹克競賽的理由當然很荒唐,但是我相信其中也有好的方面,因為孩子們也願意去競爭。當我還是個小孩子的時候,我非常喜歡競爭,我希望做到最好。當時我不可能具有成年人的智慧,認識到數學的價值、知識的價值,這隻有在人生後來的階段才可能意識到。因此我認為讓小孩子認識到數學的重要性,從前人那裡繼承數學知識的遺產是不現實的,這樣的說教對小孩子沒有意義。小孩子希望玩,希望競爭。競爭本身就很有趣。那麼我們為什麼要把成年人的觀念強加到小孩子身上呢?這同樣不合理。

《小捨得》劇照
《小捨得》劇照

  當小孩子想要去競爭,他們會因此愛上數學,這對學習數學是有益的。我想從這一點來說數學競賽並沒有錯,問題是怎麼樣去組織這樣的競賽。從某些方面來說數學競賽並不僅僅是關於小孩子本身。從根本上來說,讓年輕人沉浸在數學、科學和知識中,是一件好事。但是不應該讓他們因此遭受痛苦,受到太大的壓力,比如告訴他們必須為國家或是家庭贏得獎牌,這是不對的。曾經有一個中國記者告訴我,一些中國人在獲得國際數學奧林匹克競賽獎牌之後不再研究數學,我想這是因為其中的壓力太大了。

  三聯生活週刊:很多數學家,尤其是理論數學家,研究完全抽像的對象而並沒有相對應的實體。進行這種完全抽像的研究,是一種可以培養的能力,還是一種“天才”?

  吳寶珠:這樣說是不準確的。對於我來說是非常具體的對象,對你來說未必具體。我認為數學家可能和物理學家有所不同。數學家需要完全憑藉思考而從問題得出答案,並沒有實驗數學家和理論數學家之分——數學家必須兩者兼備,通過數字、矩陣等等進行計算,而那些矩陣是非常具體的。這就是數學家理解一切現象的方法。人們很少能夠通過純粹的思考就能理解現象,而是必須通過例子,通過計算來理解。

  數字、多項式、矩陣、運算法則……都是非常具體的。一些人會用計算機工作,但是也有很多數學家,包括我,只是用筆和紙工作。對於一個理論問題,你需要提出自己的定理和主張,並且用儘量簡單的計算進行證明。簡潔是美的,但同樣也必須做到正確,過分的簡潔可能就是錯誤的。(解決一個問題)首先要提出你的主張,用數學語言對它進行表述,最後的部分是去證明它。

《生活大爆炸》劇照
《生活大爆炸》劇照

  三聯生活週刊:一些物理學家研究所謂的“大統一理論”,希望能夠用這樣的理論解釋宇宙中所有的現象。與之相對的是,數學的領域越來越廣闊。數學有其自身的標準和結構,那麼你是否認為數學在發展到一定階段之後會開始“彙聚”?比如說出現某種數學理論可以兼容代數和幾何?

  吳寶珠:數學研究並不是為瞭解釋這個世界。數學有點像是一個建築工地,人們只是在建造不同的東西。數學家們只是希望能夠思考得更清晰——有更多的數學,就能夠思考和解釋得更清晰和精確,所以數學研究並不是為了獲得一個關於數學的大統一理論。

  但同時,很多數學家也都相信,數學是一個整體——當然這還只是一種信念。數學理論之間會有聯繫,一個理論也會為另一個理論的發展提供幫助。數學理論就是這樣發展的,在不同的數學理論之間會有相互聯繫。

  除了數學之外,我們沒有其他工具用來描述自然

  三聯生活週刊:你認為數學屬於科學嗎?

  吳寶珠:數學並不屬於應用科學,但是數學家與科學家的方法論是一致的。我們通過做實驗來解釋一些現象。數學家沒有機器,但是我們有紙筆。通過計算,我們可以檢驗實驗的對錯與否。有時我們也可以通過反例或是證明來推進數學的進展,這與科學是非常類似的。

  數學與科學也有不同之處,當一個數學理論被證明,即使還沒有足夠的普遍性,它也就永遠被證明了(而科學理論則有可能被推翻)。

  三聯生活週刊:很多物理學家同時也是數學家,他們應用數學工具來解決物理學問題,同時他們對於數學可以如此準確地描述世界也會感到非常驚訝。作為一個數學家,你如何看數學定律與物理世界之間的聯繫?

  吳寶珠:物理學家尤金·維格納(Eugene Wigner)曾經說過一句名言:“數學在自然科學中有不合理的有效性。”該如何解釋?這對我來說是一個過於深奧的哲學問題。有時我也會對數學的有效性感到驚訝,但是我想我們沒有其他選擇。除了數學之外,我們沒有其他工具用來描述自然。你可以用中文、越南語或是法語作詩,但是想要描述自然界,只能通過數學。

  我同時也對物理學對數學做出的貢獻感到驚訝。數學雖然可以憑藉其自身發展,但是一些來自物理學的理念開始成為某種數學定律,推動了數學的發展,這樣的事情已經發生了不止一次。這真是太好了。

《霍金傳》劇照
《霍金傳》劇照

  三聯生活週刊:在數學領域,導師和學生之間的關係可能更重要,這更像是師傅和徒弟之間那種一對一的關係,所以才會有“數學家譜系工程”(Mathematics Genealogy Project)。現在你是一個導師,也有自己的學生。作為一個導師,你認為應該對學生嚴厲,甚至苛刻,還是和善鼓勵為主?

  吳寶珠:我的博士導師是熱拉爾·洛蒙(Gérard Laumon)。有些人可以完全靠自己學習,創造出屬於他們自己的數學人格,但是對我來說,我的數學人格在很大程度上是在我讀博士期間由熱拉爾·洛蒙塑造的。

  對於學生,我想需要既嚴厲又和善。首先,作為導師需要為自己的學生選擇一個好問題。這個問題要重要、有趣,而且屬於某個現代數學問題的一部分——如果你選擇了一個根本沒人關心的問題,這就毫無意義了。有的時候,導師還需要保護學生。因為學生都是年輕人,他們不可能像有經驗的成熟的數學家們一樣快。針對不同性格的學生也要因材施教,需要在幾個月的時間里瞭解每一個學生。想像這樣的年輕人會在未來成為一個怎樣的數學家?這些都會成為你為他們挑選問題時的考量因素。

  作為一個導師,需要時而嚴厲時而鼓舞,才能讓學生有信心像一個出色的數學家一樣解決難題。同時也需要嚴厲。因為學生們喜歡幻想,他們有美好的夢想,但是他們必須學習做艱苦的工作,而不是陷入到一個容易的模式中,只是去咖啡館和人交談,談論一些理念,卻沒有解決真正難題的能力。數學家需要謙遜,花時間研究看上去簡單甚至是天真的問題,真正花時間去解決它們。這就需要導師有嚴厲的一面。在一個工作的結束階段,導師也需要表現得嚴厲。當一個學生開始寫論文,需要花時間去閱讀和批評,讓這些工作沒有錯誤,儘可能地完美。

《心靈捕手》劇照
《心靈捕手》劇照
 

  三聯生活週刊:對於年輕的數學家,你是否會鼓勵他們像你一樣解決一個大問題?但想要解決一個大問題,可能不容易發表論文,也不容易在學術界得到一份工作。該怎麼處理這個衝突?

  吳寶珠:我認為在博士畢業之後,立刻就開始研究一個非常大的課題並不是一個好選擇。我自己並沒有這樣做。我的博士課題和羅伯特·朗蘭茲綱領的自守形式基本引理有很緊密的關係,所以我嚐試了一些想法(但並不成功)。之後我中斷了5年時間,轉而研究其他問題。能夠解決一個問題並且發表論文是很重要的。而且法國有一個非常好的系統,年輕的數學家可以得到一個職位、拿到不錯的薪水而沒有發表論文的義務。所以數學家可以按照自己的節奏前進。

  我博士畢業之後的5年是我生命中一段非常重要的時期,我學習了很多的數學知識。在讀博士期間,我需要面對困難的問題,但是那些都是非常窄的問題,我並沒有對整個數學領域有全局性的視野,我只是研究問題,解決問題,發表論文,在這個領域里有了一些名氣。

  在博士畢業五六年之後,我非常想回到基本引理問題。因此我給當時的合作者寫信說我決定退出,開始一個人研究基本引理問題。這是一次冒險,但是相比於之前,危險已經降低了,因為我已經更成熟,有了一個終身職位,有了名氣,我想把時間花在我真正想做的事情上。但這仍然是一個冒險,我在三四年的時間里沒有發表任何論文。

  三聯生活週刊:你曾經在越南和法國接受教育,現在在美國做教授。能否比較一下這三個國家在數學研究領域的區別?

  吳寶珠:越南還是一個發展中國家,職業數學家仍然很少。我有一個叔叔,幾個月前剛剛去世,他是越南最早的幾位數學家之一。所以說越南的數學研究大概只有50年的曆史,這一點根本無法和美國或法國相比。

  在法國,數學是人們精神生活的一部分。在法國的精英教育體系中,數學的位置非常重要。巴黎的數學家密度是世界上最大的,對於數學家和學習數學的學生來說,那是一個奇妙的城市。你可以向很多人學習,可以和很多人探討。那裡不僅有非常好的學校,也有非常好的競爭環境。最好的學生會去巴黎高師學習,那裡傑出學生的密度大概是世界最高的。

  在哈佛大學、普林斯頓大學、芝加哥大學的情況也類似,但是美國的環境稍有不同,這裏更加分散一些。有更多地方可以進行數學研究,資金也更充足。如果你想做很多的事情,在美國會更容易一些。

  來源:三聯生活週刊

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